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El teorema de la incompletitud de Gödel nos muestra que existen limitaciones en todos los sistemas

El teorema de la incompletitud de Gödel nos muestra que existen limitaciones en todos los sistemas


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Los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel se escribieron en 1931, pero se habla de ellos incluso hoy y seguirán siendo el tema de muchas más discusiones por venir. La razón por la que el teorema de incompletitud de Gödel es tan intrigante es que tiene como objetivo mostrar los problemas del sistema que hemos creado nosotros mismos.

Para ser más claros, los teoremas de incompletitud de Gödel muestran que cualquier sistema lógico consiste en contradicciones o enunciados que no se pueden probar.

RELACIONADO: LA HIPÓTESIS DE RIEMANN: UN PROBLEMA DE MATEMÁTICAS DE 160 AÑOS Y MILLONES DE DÓLARES

Estos teoremas son muy importantes para ayudarnos a comprender que los sistemas formales que usamos no están completos. (UNsistema formal es un sistema de axiomas, que contiene reglas de inferencia, que permiten generar nuevos teoremas.) También abre el argumento de que ninguna teoría en física, matemáticas o cualquier vertical puede ser 100% cierta.

Durante mucho tiempo, a los matemáticos les molestó el hecho de que no podían probar cosas obvias debido a la falta de métodos para hacerlo.

En la década de 1900, estaba en efecto una tendencia de formalización de las matemáticas, que ayudaba a los matemáticos a resolver los problemas más difíciles trabajando hacia una teoría del todo, una teoría unificadora para todas las matemáticas.

Sin embargo, los teoremas de la incompletitud de Gödel demostraron que tal teoría única del todo no sería posible. No todo se puede probar, ya que siempre habrá afirmaciones en matemáticas que no se pueden probar ni refutar.

Cualquier sistema formal consistente F dentro del cual se pueda realizar una cierta cantidad de aritmética elemental es incompleto; es decir, hay enunciados del lenguaje de F que no se pueden probar ni refutar en F.

En esta declaración, debe prestar atención a las dos palabras "coherente" e "incompleto".

Un sistema es Consistente cuando las declaraciones que contiene no tienen contradicciones.

Un sistema es Incompleto cuando todas o algunas de las declaraciones que contiene no se pueden probar o refutar.

El teorema establece que un sistema F que no tiene ninguna contradicción de enunciados cuando se aplica a la aritmética elemental tendrá axiomas que no podemos probar ni refutar.

Ahora, puede preguntar por qué no podemos refutar o probar algo por completo. En matemáticas, los axiomas son afirmaciones o proposiciones que se consideran establecidas, aceptadas o evidentemente verdaderas y no necesitan ser probadas dentro del teorema.

Los axiomas son muy importantes en matemáticas porque ayudan al matemático a expandir su campo de estudio sin tener que probar todos los aspectos del teorema una vez más.

El primer teorema de incompletitud de Gödel, sin embargo, establece que algunas verdades aritméticas no son probables porque eso requeriría un sistema formal que incorpore métodos que vayan más allá del sistema aritmético usado para derivarlas.

Para cualquier sistema consistente F dentro del cual se pueda realizar una cierta cantidad de aritmética elemental, la consistencia de F no se puede probar en F mismo.

Esta es una extensión del primer teorema de incompletitud y demuestra que un sistema formal que afirma ser consistente no puede probar que no tiene contradicciones. En el caso del segundo teorema,F debe contener un poco más de aritmética que en el caso del primer teorema.

Gödel demostró este teorema utilizando la paradoja del mentiroso.

Considere la declaración "estoy mintiendo". "Estoy mintiendo" es contradictorio en sí mismo, ya que si es cierto, no soy un mentiroso y es falso; y si es falso, soy un mentiroso, entonces es cierto.

Por lo tanto, la declaración nunca puede probarse o refutarse a sí misma.

Antes de los teoremas de Gödel, el mundo matemático estaba gobernado por el programa de Hilbert. Esto fue formulado por David Hilbert a principios de los 20th siglo para poner fin a las paradojas que se encontraban en la teoría de conjuntos. Exigía una formalización de todas las matemáticas en forma axiomática, junto con una prueba de que esta axiomatización de las matemáticas es consistente.

Estas paradojas se estaban volviendo bastante desafiantes para los matemáticos. Entonces, Hilbert dividió los enunciados matemáticos en dos: contenido e ideal.

Las matemáticas de contenido se consideran inherentemente consistentes y aritméticas. La matemática ideal es matemática con valor instrumental en ciencia o simplicidad matemática.

En esencia, las matemáticas ideales son conceptuales, mientras que las matemáticas finitas o las matemáticas de contenido tienen un uso práctico.

Para aportar un sentido de principio sólido a las matemáticas, Hilbert propuso que las matemáticas deberían basarse en una base comprobable y consistente de axiomas. Hilbert llamó a esto el "punto de vista finitario".

Sin embargo, los teoremas de incompletitud de Gödel refutaron los argumentos del programa de Hilbert. Los teoremas de Gödel, que establecen que cualquier sistema que contenga aritmética tendrá argumentos que no podemos ni probar ni refutar y que no podemos probar que un sistema matemático es consistente, arroja por la ventana el argumento sobre la consistencia finitaria.

El teorema de Gödel asestó un duro golpe al programa de Hilbert, y los matemáticos dejaron de utilizar el enfoque para evaluar sistemas finitarios e ideales. Gödel esencialmente demostró que en cualquier rama de las matemáticas, habrá argumentos que uno no puede ni probar ni refutar.

Esto abrió una variedad de argumentos, no solo en matemáticas sino también en otros campos de la ciencia y la lógica.

Por ejemplo, el teorema de Gödel implica que nunca podrás entenderte verdaderamente a ti mismo porque tu mente está contenida en un sistema cerrado y solo puede conocer las cosas desde su propio punto de vista.

Con los teoremas de incompletitud de Gödel, sabemos que cualquier proceso que maneje aritmética básica tendrá enunciados que no podemos probar ni refutar. En un sentido moderno, esto significa que no se puede construir un compilador o un antivirus perfecto.

Sus teoremas permitieron la derivación de varios resultados sobre los límites de los procedimientos computacionales. Un ejemplo destacado es la imposibilidad de resolver el problema de la detención.

Un problema de detención es un problema de averiguar si un programa con una entrada determinada se detendrá en algún momento o continuará ejecutándose en un bucle infinito. Este problema de decisión es útil para demostrar las limitaciones de programación.

La afirmación de Gödel de que hay más cosas verdaderas de las que se pueden probar también se puede utilizar para ilustrar que la fe y la razón no se enfrentan entre sí, sino que son interdependientes. Todas las formas de razón tendrán algo que no puedes probar.

El teorema de Gödel incluso se ha utilizado como una construcción lógica para probar la existencia de Dios (prueba ontológica de Gödel).

Los teoremas no significaron el fin de las matemáticas, sino que fueron una nueva forma de probar y refutar afirmaciones basadas en la lógica. El teorema de Gödel nos mostró las limitaciones que existen dentro de todos los sistemas lógicos y sentó las bases de la informática moderna.


Ver el vídeo: 04 Teorema de Gödel (Julio 2022).


Comentarios:

  1. Akinokinos

    absolutamente de acuerdo con la publicación anterior

  2. Voodoozil

    Cometes un error. Puedo probarlo. Escríbeme por PM, hablamos.

  3. Tabor

    Todo esto solo la convención

  4. Amasa

    Está usted equivocado. Hablemos de esto. Envíame un correo electrónico a PM.

  5. Teo

    Publicación autorizada :), Informativo ...



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